Xangle/Yangle 02 - オイラー角を変換しよう

XYZオイラー角をYXYオイラー角に変換します。

X○○オイラー角なら画面X軸回転が可能、○○Zオイラー角ならその回転体軸中心の回転が可能、

Y○○オイラー角なら画面Y軸回転が可能、○○Yオイラー角ならSff登録時に方向ベクトル(0,-1,0)とすればねじれ回転が可能です。とても便利

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Wikipedia 回転行列より転載

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97

{\displaystyle R_{y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}} {\displaystyle R_{z}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}

上からX軸回転、Y軸回転、Z軸回転です。

XYZオイラー角はあるベクトルrを用いて

Rzｒ

→RｙRｚｒ

→RxRyRzｒ

このようにZ→Y→X軸回転を行いますから、計算すると回転行列RxRyRzは、、、

Wikipedia Euler anglesより転載

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

こうなります。cはcos、sはsinです。同様に、YXYオイラー角では

 

{\displaystyle Y_{1}X_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}&c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}\\s_{2}s_{3}&c_{2}&-c_{3}s_{2}\\-c_{3}s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}s_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}\end{bmatrix}}}

こうなります。これを互いに変換します。

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XYZオイラー角の角度１，２、３とYXYオイラー角の角度１，２，３は違うので文字を変えます。X1Y2Z3オイラー角はXαYβZγとしましょう。

Y1X2Y3オイラー角はY①X②Y③とします。

 

例１

YXYオイラー角の2行2列【以降(2,2)と表記します】とXYZオイラー角の(2,2)は同じはずなので、

cos② = cosα*cosγ - sinα*sinβ*sinγ

→② = arccos[cosα*cosγ - sinα*sinβ*sinγ]

ここで注意。MUGENでの回転方向は全て左ねじ方向です。普通は右ねじ方向なのでしょうか、上記のα、β、γ、①、②、③は全て符号マイナス"-"がつきます。ここで、

cos(-x) = cosx

sin(-x) = -sinx

ですから、②は

② = -arccos[cosα*cosγ + sinα*sinβ*sinγ]

となります。これは簡単。

例２

(2,1)÷(2,3)に注目です

-tan③ = (cosα*sinγ + cosγ*sinα*sinβ) / (-cosβ*sinα)

→α、β、γ、①、②、③全てに符号マイナス"-"をつけて、、、

→③ = arctan[(-cosα*sinγ + cosγ*sinα*sinβ) / (cosβ*sinα)]

なのですが、arctanは"-π/2　～　π/2"までしか返しません。それ以上広げると値が一意に定まらないからです。そこで、ちょっと工夫します。

θをarctanから求めるとします。ここで、

tan(θ/2) = sin(θ/2)/cos(θ/2)

=[sin(θ/2)*cos(θ/2)]/[cos(θ/2)*cos(θ/2)]

=[(1/2)*sinθ]/cos^2(θ/2)

=sinθ/[2*cos^2(θ/2)]

=sinθ/[2*(1/2)(1 + cosθ)]

=sinθ/[1 + cosθ]

=(y/r)/[1 + (x/r)]

=y/(r + x)

=y/[√(x^2 + y^2) + x]

→θ/2 = arctan【y/[√(x^2 + y^2) + x]】

→θ = 2*arctan【y/[√(x^2 + y^2) + x]】

arctanは"-π/2　～　π/2"までしか返しませんが、2倍しているのでθは"-π　～　π"を返します。よって全ての角度を返せます。

ここで、tanθ = y/x

tan③ = (cosα*sinγ + cosγ*sinα*sinβ) / (-cosβ*sinα)なら

x =  (-cosβ*sinα)

y = (cosα*sinγ + cosγ*sinα*sinβ)

です。これより、

③ = 2*arctan【(cosα*sinγ + cosγ*sinα*sinβ)/[((-cosβ*sinα)^2 + (cosα*sinγ + cosγ*sinα*sinβ)^2)**.5 + (-cosβ*sinα)]】

ところで、θの式を見るとyが0でxが負のとき分子分母が0になりバグります。直角三角形で考えるとtanθは"y/x"ですが、ここでxが負になるとθが180°ズレるのが分かると思います。よって

(xが正の場合) θ =  2*arctan【y/[√(x^2 + y^2) + x]】

(xが負の場合) θ =  180 - 2*arctan【y/[√(x^2 + y^2) - x]】

例えばこんな感じにすればバグらなくなります

記述する際は、sin,cos,tanは弧度法しか扱えず、結果は度数法で欲しいので、

③ = 2*arctan【(cos(α*(pi/180))*sin(γ*(pi/180)) + cos(γ*(pi/180))*sin(α*(pi/180))*sin(β*(pi/180)))/[)((-cos(β*(pi/180))(*sin(α*(pi/180)))^2 + (cos(α*(pi/180))*sin(γ*(pi/180)) + cos(γ*(pi/180))*sin(α*(pi/180))*sin(β*(pi/180)))^2)**.5 + (-cos(β*(pi/180))*sin(α*(pi/180)))]】*(180/pi)

こうなります。なんじゃこりゃ

"*"や"+"を使いすぎてる？せいでこれを1行で記述するとエラー落ちします。varで分割しましょう

実はarccosも全ての角度を返さないはずなのですが、何かうまくいきます。なんでだろうね

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以上まとめ

① = -2*atan((cosβ*sinγ)/(((-sinα*cosγ + cosα*sinβ*sinγ)**2 + (cosβ*sinγ)**2)**.5 - sinα*cosγ + cosα*sinβ*sinγ))

② = -acos(cosα*cosγ + sinα*sinβ*sinγ)

③ = 2*atan((-cosα*sinγ + sinα*sinβ*cosγ)/(((sinα*cosβ)**2 + (-cosα*sinγ + sinα*sinβ*cosγ)**2)**.5 + sinα*cosβ)) + 180

α = 2*atan((sin②*cos③)/(((cos①*cos②*cos③ - sin①*sin③)**2 + (sin②*cos③)**2)**.5 + (cos①*cos②*cos③ - sin①*sin③)))

β = -asin(-cos①*sin③ - sin①*cos②*cos③)

γ = 2*atan((sin①*sin②)/(((sin①*sin②)**2 + (cos①*cos③ - sin①*cos②*sin③)**2)**.5 + cos①*cos③ - sin①*cos②*sin③))

α：XYZオイラー角のX軸回転

β：XYZオイラー角のY軸回転

γ：XYZオイラー角のZ軸回転

①：Y1X2Y3オイラー角のY1軸回転

②：Y1X2Y3オイラー角のX2軸回転

③：Y1X2Y3オイラー角のY3軸回転

③について。+180がついています。正直よく分かっていないのですが、+180をつけないといけないようです。

多分tanθ = y/xのxとyの符号を逆にしてしまったせい

その他、特異点に注意

[Xangle/Yangle 01]（→

Xangle/Yangle 01 - 簡単なエフェクトを作ろう - MUGEN製作のメモ置き場

）や公開している(XYangle_SankouYou_kfm.zip)をDLして[state 300]と見比べてみてください。

 

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これはMUGENの解説記事なのか。。。？

 

計算間違ってたらゴメンナサイ

 

 

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